Thống kê - Kiểm tra giả thuyết trung bình (Hai đuôi)
Giá trị trung bình của dân số là giá trị trung bình của một dân số.
Các thử nghiệm giả thuyết được sử dụng để kiểm tra một tuyên bố về quy mô trung bình của tổng thể đó.
Kiểm tra giả thuyết một giá trị trung bình
Các bước sau đây được sử dụng để kiểm tra giả thuyết:
- Kiểm tra các điều kiện
- Xác định các yêu cầu bồi thường
- Xác định mức ý nghĩa
- Tính toán thống kê kiểm tra
- Phần kết luận
Ví dụ:
- Dân số : Người đoạt giải Nobel
- Hạng mục : Độ tuổi khi nhận giải.
Và chúng tôi muốn kiểm tra xác nhận quyền sở hữu:
"The average age of Nobel Prize winners when they received the prize is not 60"
Bằng cách lấy mẫu ngẫu nhiên 30 người đoạt giải Nobel, chúng ta có thể thấy rằng:
- The mean age in the sample (\(\bar{x}\)) is 62.1
- The standard deviation of age in the sample (\(s\)) is 13.46
Từ dữ liệu mẫu này, chúng tôi kiểm tra xác nhận quyền sở hữu bằng các bước bên dưới.
1. Kiểm tra các điều kiện
Điều kiện để tính khoảng tin cậy của một tỷ lệ là:
- Mẫu được chọn ngẫu nhiên
- Và một trong hai:
- Dữ liệu dân số thường được phân phối
- Cỡ mẫu đủ lớn
Cỡ mẫu lớn vừa phải, như 30, thường là đủ lớn.
Trong ví dụ, cỡ mẫu là 30 và được chọn ngẫu nhiên nên các điều kiện được đáp ứng.
Lưu ý: Việc kiểm tra xem dữ liệu có được phân phối bình thường hay không có thể được thực hiện bằng các bài kiểm tra thống kê chuyên dụng.
2. Xác định các yêu cầu bồi thường
Chúng ta cần xác định một giả thuyết không (\(H_{0}\)) và một giả thuyết thay thế (\(H_{1}\)) dựa trên khẳng định mà chúng ta đang kiểm tra.
Yêu cầu bồi thường là:
"The average age of Nobel Prize winners when they received the prize is not 60"
Trong trường hợp này, tham số là độ tuổi trung bình của những người đoạt giải Nobel khi họ nhận được giải thưởng (\(\mu\)).
Giả thuyết không và giả thuyết thay thế là:
Null hypothesis : The average age was 60.
Alternative hypothesis : The average age is not 60.
Điều này có thể được biểu diễn bằng các ký hiệu như sau:
\(H_{0}\): \(\mu = 60 \)
\(H_{1}\): \(\mu \neq 60 \)
Đây là một thử nghiệm ' hai đuôi ', bởi vì giả thuyết thay thế cho rằng tỷ lệ này khác với giả thuyết không.
Nếu dữ liệu ủng hộ giả thuyết thay thế, chúng tôi bác bỏ giả thuyết khống và chấp nhận giả thuyết thay thế.
3. Quyết định mức ý nghĩa
Mức ý nghĩa (\(\alpha\)) là độ không chắc chắn mà chúng tôi chấp nhận khi bác bỏ giả thuyết không trong kiểm tra giả thuyết.
Mức ý nghĩa là xác suất phần trăm của việc vô tình đưa ra kết luận sai.
Mức ý nghĩa điển hình là:
- \(\alpha = 0,1\) (10%)
- \(\alpha = 0,05\) (5%)
- \(\alpha = 0,01\) (1%)
Mức ý nghĩa thấp hơn có nghĩa là bằng chứng trong dữ liệu cần phải mạnh mẽ hơn để bác bỏ giả thuyết không.
Không có mức ý nghĩa "chính xác" - nó chỉ nêu mức độ không chắc chắn của kết luận.
Lưu ý: Mức ý nghĩa 5% có nghĩa là khi chúng ta bác bỏ giả thuyết không:
Chúng tôi hy vọng sẽ bác bỏ giả thuyết không đúng 5 trên 100 lần.
4. Tính thống kê kiểm tra
Thống kê kiểm tra được sử dụng để quyết định kết quả của việc kiểm tra giả thuyết.
Thống kê kiểm tra là một giá trị tiêu chuẩn được tính toán từ mẫu.
Công thức tính thống kê kiểm tra (TS) của trung bình tổng thể là:
\(\displaystyle \frac{\bar{x} - \mu}{s} \cdot \sqrt{n} \)
\(\bar{x}-\mu\) là sự khác biệt giữa giá trị trung bình mẫu (\(\bar{x}\)) và giá trị trung bình tổng thể được công bố (\(\mu\)).
\(s\) là độ lệch chuẩn mẫu .
\(n\) là kích thước mẫu.
Trong ví dụ của chúng tôi:
The claimed (\(H_{0}\)) population mean (\(\mu\)) was \( 60 \)
The sample mean (\(\bar{x}\)) was \(62.1\)
The sample standard deviation (\(s\)) was \(13.46\)
The sample size (\(n\)) was \(30\)
Vì vậy, thống kê kiểm tra (TS) là:
\(\displaystyle \frac{62.1-60}{13.46} \cdot \sqrt{30} = \frac{2.1}{13.46} \cdot \sqrt{30} \approx 0,156 \cdot 5.477 = \underline{0.855}\ )
Bạn cũng có thể tính toán thống kê kiểm tra bằng các hàm ngôn ngữ lập trình:
Ví dụ
Với Python, hãy sử dụng thư viện scipy và math để tính toán thống kê kiểm tra.
import scipy.stats as stats
import math
# Specify the sample mean (x_bar), the sample standard deviation (s), the mean claimed in the null-hypothesis (mu_null), and the sample size (n)
x_bar = 62.1
s = 13.46
mu_null = 60
n = 30
# Calculate and print the test statistic
print((x_bar - mu_null)/(s/math.sqrt(n)))
Hãy tự mình thử »Ví dụ
Với R, hãy sử dụng các hàm toán học và thống kê tích hợp để tính toán thống kê kiểm tra.
# Specify the sample mean (x_bar), the sample standard deviation (s), the mean claimed in the null-hypothesis (mu_null), and the sample size (n)
x_bar <- 62.1
s <- 13.46
mu_null <- 60
n <- 30
# Output the test statistic
(x_bar - mu_null)/(s/sqrt(n))
Hãy tự mình thử »5. Kết luận
Có hai cách tiếp cận chính để đưa ra kết luận của một bài kiểm tra giả thuyết:
- Phương pháp giá trị tới hạn so sánh thống kê kiểm định với giá trị tới hạn của mức ý nghĩa.
- Phương pháp giá trị P so sánh giá trị P của thống kê kiểm tra và với mức ý nghĩa.
Lưu ý: Hai cách tiếp cận này chỉ khác nhau ở cách trình bày kết luận.
Phương pháp tiếp cận giá trị quan trọng
Đối với cách tiếp cận giá trị tới hạn, chúng ta cần tìm giá trị tới hạn (CV) của mức ý nghĩa (\(\alpha\)).
Đối với bài kiểm tra trung bình tổng thể, giá trị tới hạn (CV) là giá trị T từ phân phối t của học sinh .
Giá trị T quan trọng (CV) này xác định vùng loại bỏ cho thử nghiệm.
Vùng bác bỏ là vùng xác suất ở phần đuôi của phân phối chuẩn chuẩn hóa.
Vì khẳng định rằng tỷ lệ quần thể khác với 60 nên vùng bác bỏ được chia thành cả đuôi trái và đuôi phải:
Kích thước của vùng loại bỏ được quyết định bởi mức ý nghĩa (\(\alpha\)).
Phân phối t của học sinh được điều chỉnh theo độ không đảm bảo từ các mẫu nhỏ hơn.
Sự điều chỉnh này được gọi là bậc tự do (df), là cỡ mẫu \((n) - 1\)
Trong trường hợp này bậc tự do (df) là: \(30 - 1 = \underline{29} \)
Chọn mức ý nghĩa (\(\alpha\)) là 0,05 hoặc 5%, chúng ta có thể tìm thấy giá trị T tới hạn từ bảng T hoặc bằng hàm ngôn ngữ lập trình:
Lưu ý: Vì đây là bài kiểm tra hai đuôi nên diện tích đuôi (\(\alpha\)) cần được chia đôi (chia cho 2).
Ví dụ
Với Python, hãy sử dụng hàm t.ppf() của thư viện Scipy Stats để tìm Giá trị T cho \(\alpha\)/2 = 0,025 ở 29 bậc tự do (df).
import scipy.stats as stats
print(stats.t.ppf(0.025, 29))
Hãy tự mình thử »Ví dụ
Với R, hãy sử dụng hàm qt() tích hợp để tìm giá trị t cho \(\alpha\)/ = 0,025 ở 29 bậc tự do (df).
qt(0.025, 29)
Hãy tự mình thử »Sử dụng một trong hai phương pháp, chúng ta có thể thấy rằng Giá trị T quan trọng là \(\approx \underline{-2.045}\)
Đối với thử nghiệm hai đuôi, chúng ta cần kiểm tra xem thống kê kiểm tra (TS) có nhỏ hơn giá trị tới hạn âm (-CV) hay lớn hơn giá trị tới hạn dương (CV).
Nếu thống kê kiểm tra nhỏ hơn giá trị tới hạn âm thì thống kê kiểm tra nằm trong vùng bị loại bỏ .
Nếu thống kê kiểm tra lớn hơn giá trị tới hạn dương thì thống kê kiểm tra nằm trong vùng bị loại bỏ .
Khi thống kê kiểm tra nằm trong vùng bị bác bỏ, chúng tôi bác bỏ giả thuyết khống (\(H_{0}\)).
Ở đây, thống kê kiểm tra (TS) là \(\approx \underline{0.855}\) và giá trị tới hạn là \(\approx \underline{-2.045}\)
Dưới đây là minh họa của bài kiểm tra này trong biểu đồ:
Vì thống kê kiểm tra nằm giữa các giá trị tới hạn nên chúng tôi giữ giả thuyết không.
Điều này có nghĩa là dữ liệu mẫu không ủng hộ giả thuyết thay thế.
Và chúng ta có thể tóm tắt kết luận nêu rõ:
The sample data does not support the claim that "The average age of Nobel Prize winners when they received the prize is not 60" at a 5% significance level .
Phương pháp tiếp cận giá trị P
Đối với phương pháp giá trị P, chúng ta cần tìm giá trị P của thống kê kiểm tra (TS).
Nếu giá trị P nhỏ hơn mức ý nghĩa (\(\alpha\)), chúng tôi bác bỏ giả thuyết khống (\(H_{0}\)).
Thống kê kiểm tra được tìm thấy là \( \approx \underline{0.855} \)
Đối với bài kiểm tra tỷ lệ dân số, thống kê kiểm tra là Giá trị T từ phân phối t của học sinh .
Vì đây là thử nghiệm hai đuôi nên chúng ta cần tìm giá trị P của giá trị T lớn hơn 0,855 và nhân nó với 2 .
Phân phối t của sinh viên được điều chỉnh theo bậc tự do (df), tức là cỡ mẫu \((30) - 1 = \underline{29}\)
Chúng ta có thể tìm thấy giá trị P bằng cách sử dụng bảng T hoặc bằng hàm ngôn ngữ lập trình:
Ví dụ
Với Python, hãy sử dụng hàm t.cdf() của thư viện Scipy Stats, tìm giá trị P của giá trị T lớn hơn 0,855 cho bài kiểm tra hai đuôi ở 29 bậc tự do (df):
import scipy.stats as stats
print(2*(1-stats.t.cdf(0.855, 29)))
Hãy tự mình thử »Ví dụ
Với R, hãy sử dụng hàm pt() tích hợp để tìm giá trị P của Giá trị T lớn hơn 0,855 cho thử nghiệm hai đuôi ở 29 bậc tự do (df):
2*(1-pt(0.855, 29))
Hãy tự mình thử »Sử dụng một trong hai phương pháp, chúng ta có thể thấy rằng giá trị P là \(\approx \underline{0.3996}\)
Điều này cho chúng ta biết rằng mức ý nghĩa (\(\alpha\)) cần phải nhỏ hơn 0,3996, hay 39,96%, để bác bỏ giả thuyết khống.
Dưới đây là minh họa của bài kiểm tra này trong biểu đồ:
Giá trị P này lớn hơn bất kỳ mức ý nghĩa chung nào (10%, 5%, 1%).
Vì vậy giả thuyết không được giữ ở tất cả các mức ý nghĩa này.
Và chúng ta có thể tóm tắt kết luận nêu rõ:
The sample data does not support the claim that "The average age of Nobel Prize winners when they received the prize is not 60" at a 10%, 5%, or 1% significance level .
Tính giá trị P cho bài kiểm tra giả thuyết bằng lập trình
Nhiều ngôn ngữ lập trình có thể tính giá trị P để quyết định kết quả của việc kiểm tra giả thuyết.
Việc sử dụng phần mềm và lập trình để tính toán số liệu thống kê phổ biến hơn đối với các tập hợp dữ liệu lớn hơn vì việc tính toán thủ công trở nên khó khăn.
Giá trị P được tính ở đây sẽ cho chúng ta biết mức ý nghĩa thấp nhất có thể mà giả thuyết không có thể bị bác bỏ.
Ví dụ
Với Python, hãy sử dụng thư viện scipy và math để tính giá trị P cho phép kiểm tra giả thuyết hai đuôi cho giá trị trung bình.
Ở đây, cỡ mẫu là 30, giá trị trung bình mẫu là 62,1, độ lệch chuẩn mẫu là 13,46 và phép kiểm tra dành cho giá trị trung bình khác 60.
import scipy.stats as stats
import math
# Specify the sample mean (x_bar), the sample standard deviation (s), the mean claimed in the null-hypothesis (mu_null), and the sample size (n)
x_bar = 62.1
s = 13.46
mu_null = 60
n = 30
# Calculate the test statistic
test_stat = (x_bar - mu_null)/(s/math.sqrt(n))
# Output the p-value of the test statistic (two tailed test)
print(2*(1-stats.t.cdf(test_stat, n-1)))
Hãy tự mình thử »Ví dụ
Với R, hãy sử dụng các hàm toán học và thống kê tích hợp để tìm giá trị P cho phép kiểm tra giả thuyết hai đuôi cho giá trị trung bình.
Ở đây, cỡ mẫu là 30, giá trị trung bình mẫu là 62,1, độ lệch chuẩn mẫu là 13,46 và phép kiểm tra dành cho giá trị trung bình khác 60.
# Specify the sample mean (x_bar), the sample standard deviation (s), the mean claimed in the null-hypothesis (mu_null), and the sample size (n)
x_bar <- 62.1
s <- 13.46
mu_null <- 60
n <- 30
# Calculate the test statistic
test_stat = (x_bar - mu_null)/(s/sqrt(n))
# P-value the p-value of the test statistic (two tailed test)
2*(1-pt(test_stat, n-1))
Hãy tự mình thử »Kiểm tra đuôi trái và hai đuôi
Đây là một ví dụ về thử nghiệm đuôi trái , trong đó giả thuyết thay thế khẳng định rằng tham số nhỏ hơn khẳng định giả thuyết không.
Bạn có thể xem hướng dẫn từng bước tương đương cho các loại khác tại đây:
